É comum exigirem que a pessoa seja CLT para alugar um imóvel?

Esse tipo de exigência limita quem a pessoa consegue alugar o imóvel. E ser CLT não garante que ela vá pagar. Mas quem aluga pode determinar os critérios, mesmo que sejam contraproducentes.

seria mais para comprovar renda, imagino

Depende de onde você tá procurando

Comum, não, mas pode acontecer. Tem proprietários que não alugam pra quem tem filhos, por exemplo. Existem alguns aluguéis que são mais burocráticos mesmo.

isso é invasao de privacidade, vc n tem q comprovar porra nenhuma fih

Irrelevante. Solicitam fiador ou seguro.

Pra pessoa ter certeza que não vai levar cano