A empresa tem como saber que a pessoa já terminou a graduação?

Acho que sim. Melhor ser sincera.

Vão descobrir facilmente e seu caráter vai ficar em xeque.

Com os seus dados eles podem verificar no site da sua faculdade, se nao me engano

Sim. Vão jogar seu nome no site da universidade. Estágio é pra quem está cursando. Pode pegar mal até pra empresa colocar alguém na vaga erroneamente.

Você vai se lascar, a questão é se prefere se lascar um pouco contando a verdade ou se lascar muito sendo descoberta. Melhor mandar a real.

Quando é estágio, sim.

Acho que tem sim, o ideal é sempre ser honesta nessas situações

Eu não faria o estágio porquê não é legal e poderia dar ruim depois na minha vida profissional .

Provavelmente, porque eles vão pedir uma comprovação dos seus estudos e você teria que comprovar que ainda está estudando.
Até onde eu sei, há empresas que têm programas voltados pra recém-formados. Tente procurar por essas oportunidades. Não chega a ser um estágio, mas é quase isso. É uma possibilidade pra pessoas que não têm tanta experiência mas que já passaram da fase de estágio.

Provavelmente

Sim, pq vao pedir documentos que comprovem que está cursando.